Сторона BC треугольника ABC равна 5 и лежит в плоскости Альфа.
Вершина А удалена от плоскости Альфа на 5. Найдите площадь треугольника ABC, если плоскость (ABC) и плоскость Альфа образуют угол в 60 градусов.
Если возможно, с чертежом

Из точки D, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр DC и две равные наклонные DA и DB. Известно, что наклонные равны 4 см и ∠CDB=32°. Найдите перпендикуляр DC и проекцию наклонной AC.

Объяснение:

DC-перпендикуляр к плоскости ,  DA и DB-наклонные,  DA=DB=4 см,  CA-проекция наклонной DA.

1)ΔDСВ-прямоугольный , т.к. DC⊥α ( значит любой прямой лежащий в этой плоскости)  

cos∠CDB=DС/DВ  , cos32°=DС/4  ,DС=4cos32°   ;

sin∠CDB=CВ/DВ  ,  sin32°=CВ/4 ,   СВ=4sin32°.

2)ΔDAC=ΔDBC как прямоугольные по катету и гипотенузе:

катет DC-общий, гипотенузы DA=DB поусловию⇒CA=CD=4sin32°.

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.