Пусть
K,
L,
Mи
Nсередины сторон соответственно
AB,
BC,
CDи
ADвыпуклого четырёхугольника
ABCD,
LN = 2,
KM = 7.
Отрезки
и
MN —средние линии треугольников
ABCи
ADC,поэтому
KL ‖ AC,
KL = 1 2 AC,
MN ‖ AC,
MN = 1 2 AC,значит, четырёхугольник
KLMN —параллелограмм, а так как его диагонали
KMи
LNперпендикулярны, то это — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т. е.
S KLMN = 1 2 · 2 · 7 = 7.
Поскольку
средняя линия треугольника
ABC,площадь треугольника
KBLравна четверти площади треугольника
ABC.Аналогично, площадь треугольника
MDNравна четверти площади треугольника
ADC, поэтому
S △KBL + S △MDN = 1 4 S △ABC + 1 4 S △ADC = 1 4 (S △ABC + S △ADC ) = 1 4 S ABCD .
Аналогично,
Следовательно,
S KLMN = S ABCD − S △KBL − S △MDN − S △KAN − S △MCL =
= S ABCD − 1 4 S ABCD − 1 4 S ABCD = S ABCD − 1 2 S ABCD = 1 2 S ABCD ,
S ABCD = 2S KLMN = 2 · 7 = 14.
1) Две эти параллельные, проходящие через точки А и В, образуют плоскоть (по свойству - две параллельные прямые образуют плоскоть). Эта плоскость, назовём её "гамма", пересекает плоскоти альфа и бетта. По свойству о пересении плоскостью двух других ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ плоскостей, линии пересечения плоскоти гамма с плоскостями альфа и бетта тоже будут параллельные. В нашем случае это отрезки АВ и А1В1 - они параллельны)
2)У нас получилось, что в четырёхугольнике попарно параллельны между собой противолежащие стороны. Мало того, мы знаем, что отрезки АА1 и ВВ1 равны между собой, т.к. они являются перпендикулярами между плоскостями альфа и бетта. Значит мы знаем, что это ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ четырёхугольник) Ну ии периметр P = 2*(10 + 8) = 36 (см)
