отрезок ad - биссектриса треугольника АBC. Через точку D проведена прямая, параллельна стороне AB и пересекающая сторону AC в точкe F. Найти углы треугольника ADF, если уг. BAC = 72 градуса

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник СED. Угол ECD будет 30 градусов, значит катет, лежащий напротив него равен половине гипотенузы. Составляем уравнение пифагора:

Тогда меньший катет равен 2.

Проводим еще одну высоту из вершины B, например BL. Получаем еще один прямоугольный треугольник, который будет равен треугольнику CED.
Теперь AD cостоит из следующих отрезков AL+LE+ED. ED мы нашли, он равен 2 и равен AL. А LE равно BC = 4. Следовательно, AD = 2+2+4=8

ответ: AD=8

2) Если AB перпендикулярна основаниям, то угол B будет равен 90 градусам. Проведем из вершины C  высоту CH  и рассмотрим получившийся треугольник CDH. По условию угол BCD равен 135 градусам, проведя высоту CH мы получили квадрат ABCH все углы которого равны 90 градусам, тогда чтобы узнать величину угла HCD вычитаем из 135 90 и получаем 45 градусов. Учитывая, что наш треугольник прямоугольный, другой его угол также равен 45 градусам. Значит, наш труегольник еще и равносторонний. Тогда воспользуемся теоремой пифагора:


Сторона AD состоит из двух отрезков AH, который равен BC=8, и HD=4(это мы нашли из теоремы Пифагора). Тогда AD = 8+4=12

 ответ: AD=12

Можно построить контр пример , так как этот угол из условия однозначный.
Зададим сразу расстояние одной из прямых , пусть A1D1 , чтобы не вписывать множество переменных для произвольного шестиугольника , определим координаты 5 вершин произвольным образом , учитывая условно заданные расстояние и выпуклость , положим что
A(0,0) , B(3,0) , C(5,sqrt(12)) , D(3,7) , E(-2,8) , F(a,b)
При этом AB=3 , BC=4 , ED=5.
Тогда
A1(3/2,0)
B1(4, sqrt(3))
C1(4, 7/2+sqrt(3))
D1(1/2, 15/2)
E1((a-2)/2 , (b+8)/2)
F1(a/2, b/2)

Из условия A1D1=B1E1=F1C1 , получаем
(a-10)^2+(b+8-sqrt(12))^2=(a-8)^2+(b-7-sqrt(12))^2
откуда b=2a/15+(20*sqrt(3)-17)/10

Через скалярные произведение векторов найдём угол между векторами B1E1 и A1D1

cosa=(20-2a+15(b+8-sqrt(12)))/229
Подставляя найденный b и преобразовывая , получаем что cosa=1/2 или a=60 гр.

ответ 60 градусов .