Геометрический S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°. Отсюда MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3. По теореме косинусов для тех же треугольников: AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB); AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС); СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB). Сложим эти равенства: AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)). Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9, S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4. Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.
Тригонометрический Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)). После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.
1 задача-Наименьшая высота - это высота, проведенная к наибольшей стороне треугольника.Высоту можно найти, зная площадь треугольника. Применим формулу площади Герона. Площадь треугольника по формуле Герона :Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению: S=√{p (p−a) (p−b) (p−c) } Находим по этой формуле площадь треугольника=360 см³Высоту находим из классической формулы площади треугольника:S=½hah=S:½ а, где а - сторона. к которой проведена высота. h=360:(36:2)=20 см
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
