1) Основа прямої призми - прямокутний трикутник з катетами 3 і 4 см. Діагональ бічної грані, яка містить гіпотенузу трикутника, дорівнює 13 см. Знайти об'єм призми.
2) Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює l і утворює з площиною основи піраміди кут @. Знайти об'єм піраміди.

Проведем еще одну медиану ВЕ. 
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 
Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих.
Три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников

Рассмотрим треугольник МОА.
АМ=10:2=5 ( т.к. СМ- медиана). 
МО=СМ:3=5
АМ=МО
Треугольник АМО - равнобедренный.
Опустив высоту МН, получим «египетские» треугольники, в которых МН=4 
( проверьте по т.Пифагора)
Площадь АМО=МН*АН=12.
S ABC=S MOH*6=72АМ=МВ, АН=НО ⇒ 
МН -средняя линия треугольника АВО ⇒ 
МН параллельна ВО по свойству средней линии. 
ВО=МН*2=8 
ВО:ОЕ=2:1 по свойству медианы  ⇒
ОЕ=8:2=4
.Т.к.  МК || ВО, ∠ АОЕ =∠ МНО как накрестлежащий,  поэтому ∠ АОЕ=90°, ⇒ треугольник АОЕ прямоугольный. 
АЕ²=АО²+ОЕ²
АЕ²=36 +16=52
АЕ=2√13
АС=2*АЕ=4√13

Площадь треугольника АСD по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, a,b,c - стороны.
В нашем случае р=14:2=7, тогда S=√(7*1*2*4) = 2√14.
S=(1/2)*h*AD, отсюда высота  треугольника АСD равна
h=2S/AD=(2√14)/3.
Тогда катет HD по Пифагору равен HD=√(CD²-h²)=√(9-56/9)=5/3.
Следовательно, отрезок АН=6-5/3=(18-5)/3=13/3.
По свойству высоты, опущенной из тупого угла на большее основание равнобокой трапеции, отрезок АН равен полусумме оснований трапеции. Тогда ее площадь равна
S=АН*h=(13/3)*(2√14)/3=26√14/9 ≈ 12,1.
ответ: S=26√14/9 ≈ 12,1.