Дано: аб//сд; ас//вд. найти угол 1; 2; 3; 4; 5; 6

а) В правильном треугольнике СК - высота, биссектриса и медиана.

КН/НС=1/2 (свойство).

НN║KM, CN/NM=CH/HK=1/2. (теорема Фалеса)

SM=MC => MN=(1/3)*SM.

НР/PS=NM/MS=1/3 (теорема Фалеса).

Что и требовалось доказать.

б) Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Опустим перпендикуляр МТ на плоскость АВС. Основание этого перпендикуляра окажется на прямой СК, так как плоскость КSC перпендикулярна плоскости АВС.

В нашем случае искомый угол - это угол МКС, так как КТ - проекция прямой МК на плоскость АВС.

Высота СК правильного треугольника АВС (формула):

СК=(√3/2)*а = 3√3 (при стороне АВ=6).

КН=(1/3)*СК = √3.

SK=4 (так как треугольник ASK - пифагоров: АК=3, SA=5).

SH=√(SK²-KH²) = √(16-3) =√13.

PH=(1/4)*SH =√13/4 (доказано в пункте а).

tgα=PH/KH=√13/(4√3) = √39/12.

α= arctg(√39/12) ≈ 27,5°

Дан треугольник АВС, <C=90.По теореме Пифагора гипотенуза АВ² = АС² + ВС², АВ²  = 900
АВ=30. 
Проведём биссектрису ВЕ.
Биссектриса делит сторону на части пропорциональные прилежашим сторонам,  пусть Е точка пересечения биссектрисы и противолежащей стороны, меньший угол в треугольнике лежит напротив меньшей стороны. Меньшая сторона АС=18 см. Пусть АЕ=х, тогда ЕС= 18 -х. Составим пропорцию : АЕ/ЕС= 30/24
                                                                                                        х/18-х = 5/4
Решим это уравнение, получим х=10, поэтому АЕ=10, ЕС=8 см.
Рассмотрим треугольник ВЕС, <C = 90, по теореме Пифагора, получим,
ВЕ² = ЕС² + ВС² = 8² + 24² = 640
ВЕ= √640 = 8√10