235. а) найдите большую высоту треугольника, если его сторо-
ны 9 см, 10 см, 17 см. б) существует ли треугольник, высоты ко-
торого равны 2 см, 3 см и 4 см? ​

Пусть трапеция ABCD , AD|| BC ; ∠BAD = ∠ABC =90° ; ∠BDC =∠BDA  ;
AO/CO =8/5(O_точка пересечения диагоналей AC и BD) , AB =12 см.

BC -? ; CD -? ; AD -? ; S =S(ABCD) -?

∠BDC =∠BDA  (по условию) и
∠BDA =∠DBC (как накрест лежащие углы)  ⇒∠BDC =∠DBC ,т.е.ΔBCD
равнобедренный:  CB =CD.
ΔAOD ~ΔCOB ⇒AD/CB =AO/CO =8/5.
AD=8k , CB =5k.  || тоже  CD =CB=5k ||
Проведем CE⊥AD (E∈AD, ABCE -прямоугольник), CF =h =AB =12 см  ; 
DE=AD-AE=AD - CB =8k-5k =3k .
Из ΔСED  по теореме Пифагора :
CD² -DE² = CE² ⇔(5k)² - (3k)² = (3*4)² ⇒k =3.
CD =CB =5k =5*3 =15 (см)  , AD =8k =8*3 =24 (см) .
---
S =(AD+BC)/2 *h =(24+15)/2*12 =39*6 =234 (см²) .

Правильная четырехугольная пирамида с плоским углом при вершине 60°, => боковые грани пирамиды правильные треугольники со стороной m=5 см.
V=(1/3)*Sосн*H
Sосн=m², Sосн=25 см²
1. прямоугольный треугольник:
гипотенуза - d диагональ квадрата - основания пирамиды
катеты -стороны квадрата m=5 см
по теореме Пифагора: d²=m²+m²
d²=50
2. прямоугольный треугольник:
гипотенуза - боковое ребро пирамиды m=5 см
катет - высота пирамиды Н
катет - (1/2)d
по теореме Пифагора:
Н²=m²-(d/2)², H²=25-50/4. H²=50/4. H=5√2/2
V=(1/3)*25*5√2/2
V=125√2/6 см³