Знайдіть діагональ рівнобічної трапеції, якщо менша її основа дорівнює 5 см, бічна сторона — 16 см, а менший кут становить 60°.​

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

ДАЙ ЛУЧШИЙ ОТВЕТ

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с 

плоскостью боковой грани угол 30°. Найти:

а) сторону основания 

призмы.

б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания

в) площадь боковой поверхности призмы.

г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

В основаниях правильной призмы - правильные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Следовательно,  ее боковые ребра перпендикулярны основанию. 

Треугольник ВD1А - прямоугольный (в основании призмы - квадрат,  и ребра перпендикулярны основанию.

а) Сторона основания противолежит углу 30°, поэтому АВ=а*sin 30=a/2

б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - это угол между диагональю ВD1 призмы и диагональю  ВD основания.

ВD  как диагональ квадрата равна а√2):2

cos D1BD=BD:BD1=( а√2):2):a=(√2):2),

и это косинус 45 градусов. 

в) площадь боковой поверхности призмы находят произведением высоты на периметр основания:

S бок=DD1*AB= (а√2):2)*4*a/2=a²√2

г) Сечение призмы, площадь которого надо найти,  это треугольник АСК.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Верным является и обратное утверждение. 

Высота КН  - средняя линия прямоугольного треугольника BDD1. Она параллельна диагонали призмы, а само сечение проходит через диагональ АС  основания. 

S Δ(АСК)=КН*СА:2

SΔ (АСК)=(0,5а*а√2):2):2=(а²√2):8