Звершин a i c ромба abcd до площини a(альфа), яка проходить через діагональ bd, проведено перпендикуляри am і cn. знайдіть проекції сторін та діагоналей ромба на площину a, якщо ac : bd = 12 : 5, am=2√11 м , а площа площа ромба - 120 м^2

угол А - 36 градусов, угол В - 27 градусов, угол С - 117 градусов.

Объяснение:

1. По теореме косинусов: а^2 + b^2 + c^2 = 2 x b x c x cos C

cos C = (b^2 + c^2 - a^2) / 2 x b x c

cosC = (4^2 + 6^2 - 3^2) / 2 x 4 x 6

(16 + 36 - 9) / 48 = 43 / 48 = 0.8958

угол С по таблице Брадиса примерно равен 27 градусов.

2. соs A = cos C = (a^2 + c^2 - b^2) / 2 x a x c

cosA = (3^2 + 6^2 - 4^2) / 2 x 3 x 6 = (9 + 36 - 16) / 36 = 29 / 36 = 0.8055

угол A по таблице Брадиса примерно равен 36 градусов.

3. Угол В = 180 - А - С = 180 - 36 - 27 = 117

Свойство: Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. EF - средняя линия. 
Значит АEFВ - трапеция, в которой CВ=2ЕF.
Свойство:
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.
Итак, ВС+EF=CE+FB. Но EF=(1/2)*ВС, а СЕ+FB=(1/2)*(АВ+АС). 
Значит (3/2)*ВС=(1/2)*(АВ+АС) или 3ВС=АВ+АС.
АВ+АС+ВС=24 (дано). Тогда 4ВС=24, а ВС=6.
Sabc=(1/2)*ВC*h=(1/2)*6*8=24.(так как h=2*d=8, поскольку EF - средняя линия и делит h пополам. Половина же высоты - это в нашем случае  диаметр вписанной окружности).
По Герону: Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c). Или S²=12(12-a)(12-b)(12-6).
То есть 24²=12*6*(12-a)(12-b) или 8=(12-a)(12-b). 
Но a+b+c=24, а с=6, значит a+b=18. тогда b=18-a.
Подставляем это значение в выражение 2=(12-a)(12-b) и получаем:
8=(12-a)(а-6). Имеем квадратное уравнение:
а²-18а+80=0, откуда а1=10, а2=8 и b1=8, b2=10.