Даны две параллельные плоскости a и b. через вершины треугольника abc,лежащего в плоскости a ,проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость b в точках a 1, b1 иc1. найдите медиану треугольника a 1 b1c1, проведенную к стороне a 1 b1,если ab=16см,bc=10см, ac= 10см.

Построим параллелограм АВСД, ВД-меньшая диагональ, угВАД=60, угВДА=30град. На сторону АД опустим высоту ВЕ, угАВЕ=30, т.к угВЕА=90, угВАЕ=60., угВЕД=60 град, т.к. ВЕД=90, а угВДЕ=30, тогда угАВД=угАВЕ+угЕВД=30+60=90, значит АВД-прямоуг треу, мы знаем, что сторона, в прямоуг треуг лежащая пропив угла 30 град= половине гипотен.,АД-гипотен=ВС=20, тогда АВ=АД/2=10. теперь рассмотрим треуг АВЕ, АЕ лежит против угла 30 град, знач =АВ/2, тоесть АЕ=10/2=5. Найдем ВЕ, ВЕ²=АВ²-АЕ² по теореме пифагора, ВЕ²=10²-5²=100-25=75 ВЕ=√75=5√3. Площадь параллелограмма равна S=h*a, где h-высота ВЕ, а-сторона, на которую опустили высоту а=АД=ВС   S=ВЕ*АД=5√3*20=100√3 

1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что:
a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x;
8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8;
Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так 
h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S  = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35;
2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно).
Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2;
m^2 + h^2 = 10^2;
m*h = 48;
Отсюда
(m + h)^2 = 196;
(m - h)^2 = 4;
Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; 
Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6;
то есть - два решения h = 6 или 8;
ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию.