Abcd – трапеція, ab і cd – її основи, o – точка перетину діагоналей. ab – cd=4 см; ao = 8 см; oc = 6 см. знайдіть ab.

Обозначим через ВК высоту, опущенную на сторону АС.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.

Периметр ромба MNOD равен 32 см.

Объяснение:

Дано: ABCD - ромб, ∠A = 30°, BC = 16 см, т.O - точка пересечения диагоналей ромба, т.M ∈ AD, AM = MD, т.N ∈ AB, AN = NB.

Найти: P(MNOD).

Решение.

1) Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Все стороны ромба ABCD равны по 16 см. У ромба ABCD противоположные стороны попарно параллельны.

AM = MD = 8 см.

2) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, пересекаются под углом 90°, точкой пересечения делятся пополам. ⇒

∠OAD = 60° / 2 = 30°; ∠AOD = 90°;

3) ΔAOD прямоугольный с гипотенузой AD = 16 см. Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Катет OD = 16 см / 2 = 8 см. Диагональ BD = 8 см * 2 = 16 см.

4) В ΔBAD отрезок MN является средней линией, так как проходит через середины двух сторон треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.⇒

MN = 8 см, MN ║BD и значит MN ║OD.

В ΔBAD отрезок NO является средней линией, так как проходит через середины двух сторон треугольника. ⇒

NO = 8 см, NO║AD и значит NO ║MD.

⇒ В четырехугольнике MNOD противолежащие стороны параллельны и все стороны равны. ⇒ MNOD - ромб.

5) Найдем периметр ромба MNOD:

P(MNOD) = 4 * 8 см = 32 см.

Рисунок прилагается.