4. в скольких точках пересекаются 11 прямых, среди которых нет параллельных, ровно 5
пересекаются в одной точке, а никакие три другие прямые не проходят через одну точку?

Решить треугольник, значит найти его не достающие основные элементы.
У данного нам треугольника BCD имеется 6 основных характеристик:
3 линейные (длины сторон ВС, CD, BD) и 3 угловые ( <B, <C и <D).
Нам известны сторона ВС и угпы В и D.
Требуется найти стороны CD и BD и <C.
<C=180°-(45°+60°)= 75° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Стороны CD и BD найдем по теореме синусов:
ВС/SinD=CD/SinB, отсюда CD=BC*Sin45/Sin60 или
CD=√3*(√2/2)/(√3/2) =√2.
ВD/SinC=CD/SinB, отсюда BD=CD*Sin75/Sin45.
Sin75=Sin(30+45)=Sin30*cos45+Cos30*sin45 =(1/2)*(√2/2)+(√3/2)*(√2/2).
Sin75=√2(1+√3)/4.
BD=√2*√2(1+√3)/(√2/2)*4=√2(1+√3)/2.

Сторону ВD можно найти и по теореме косинусов:
BC²=BD²+CD²-2*BD*СD*CosD или 3=BD²+2-2*BD*√2*(1/2) или
BD²-BD*√2-1=0.
Отсюда
BD=√2(1+√3)/2. Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.
Или так:
BD²=BC²+CD²-2*BC*СD*CosC  или
BD²=5-2*√3*√2*Cos75.
Cos75=Cos30*Cos45-Sin30*Sin45 = √2(√3-1)/4.
Заметим, что 4+2√3 = (1+√3)² ((1+√3)²=1+2√3+3). Тогда
BD=√[(10-6+√12)/2] = √[(4+2√3)/2] = √(1+√3)²/√2 = √2(1+√3)/2.
ответ: <C=75°, CD=√2, BD=√2(1+√3)/2.

Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника. 

Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º

Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М. 

Пусть АК=х, ВН=у. 

Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у

АВ=х+у

АС=х+3, ВС=у+3

Формула радиуса вписанной окружности

r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр

р=х+у+3

3=84:(х+у+3)

х+у+3=28⇒

х+у=25

у=25-х

АВ=х+у=25 дм

АС=х+3

ВС=25-х+3=28-х

По т.Пифагора

(х+3)²+(28-х)²=625

Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение

х²-25х+84=0

D=25²-4·84=289

Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4

АС=21+3=24 дм

ВС=28-21=7 дм

Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25