в треугольнике abc, ac = cb = 8, угол acb = 120 градусов. точка m удалена от плоскости треугольника на расстоянии 12 см и находится на равном расстоянии от вершин треугольника abc.
найти угол между ma и плоскостью треугольника abc
точка m находится на равном расстоянии от вершин треугольника abc, следовательно, наклонные ма, мс и мв равны, их проекции также равны, а м проецируется в центр в описанное вокруг δ авс окружности.
оа = ов = ос = r
углы при а и в равны, как углы при основании равнобедренного треугольника.
∠а = ∠в = (180º-120º): 2 = 30º
по т.синусов
r = (ac: sin 30º): 2 = (8: 0,5): 2 = 8 см
δ мoa - прямоугольный, мо = 12, ов = 8, и tg ∠mao = 12/8 = 1,5
∠mao = ≈56º20 "
Сделаем рисунок к задаче.
Обозначим вершины параллеограмма привычными буквами АВСD.
Проведем биссектрисы углов В и С, которые пересекутся на АD в точке М.
Биссектрисы образовали со сторонами параллелограмма треугольники, причем
∠ СВМ= ∠ АМВ по свойству углов при пересечении параллельных прямых и секущей, а
∠ АВМ= ∠МВС - как половины угла В.
То же самое с углами ВСМ и СМD.
Раз углы при основании ВМ Δ АВМ и основании СМ Δ СМD равны,
оба этих треугольника - равнобедренные.
В треугольнике АВМ сторона АВ равна стороне АМ,
В треугольнике МDС сторона МD равна стороне СD.
Но АВСD- параллелограмм, и стороны АВ и CD равны по определению.
Следовательно, АМ=MD и АD=2АВ ( или 2 CD, что одно и то же)
Р АВСD= 2( АВ+АD) Подставим в значение периметра 2 АВ вместо AD.
Р АВСD= 2( АВ+2АВ)
30= 6 АВ
АВ=5 см
Ответ: Длина короткой стороны параллелограмма равна 5 см
