На изображении прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 найдите:
а)прямую, скрещивающуюся с прямой bb1;
б) ребро, параллельное грани a1b1ba;
в) грант, перпендикулярную грани aa1d1d;
г) плоскости, образующие двугранный угол с ребром aa1.

Доказательство:

1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.

4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.

Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).

Отсюда BO=CO.

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.

Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы

Пусть биссектриса AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как биссектриса AE будет одновременно являться его высотой. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE - его катетами.

По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).

Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника биссектриса AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE - биссектриса. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).

2

Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует формула Стюарта.

Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон P = AB+BC+AC. А его полупериметр равен половине суммы длин всех его сторон: P = (AB+BC+AC)/2 = (a+b+c)/2, где BC = a, AC = b, AB = c.

Формула Стюарта для длины биссектрисы, проведенной к стороне c (то есть, AB), будет иметь вид: l = sqrt(4abp(p-c))/(a+b).

3

Из формулы Стюарта видно, что биссектриса, проведенная к стороне b (AC), будет иметь такую же длину, так как b = c.