Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (рис. 83, а), и докажем, что эти треугольники равны.
Мысленно наложим треугольник ABC так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – с равной ей стороной A1B1, а вершина C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1 (рис. 83, б).
Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC – на луч B1C1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т. е. с точкой C1 (рис. 83, в). Из этого следует, что стороны AC и BC совместятся соответственно со сторонами A1C1 и B1C1. Итак, треугольники полностью совместятся, и, следовательно, они равны. Теорема доказана.
1) Если точка лежит в одной плоскости с окружностью, то нельзя провести через них сферу.
2) Пусть точка М не лежит в плоскости окружности и не лежит на прямой а.
Центр сферы - точка, равноудаленная от всех точек окружности и от данной точки М.
Все точки, равноудаленные от всех точек окружности, лежат на прямой а, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости окружности.
Через прямую а и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плокость. Пусть она пересекает плоскость окружности по прямой АВ.
Точки, равноудаленные от точек М и А, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку МА.
Тогда точка пересечения этого серединного перпендикуляра и прямой а - точка S - и есть центр сферы (она равноудалена от всех точек окружности и от точки М). Так как такая точка единственная, то и сферу через окружность и точку М можно провести единственную.
3) Если точка М лежит на прямой а, то возьмем произвольную точку А на окружности и в плоскости АОМ построим серединный перпендикуляр к отрезку АМ. И дальше так же, он пересечет прямую а в точке S, которая и является центром единственной сферы.
