Найдите неизвестную сторону треугольника

Провести среднюю линию и разрезать по ней треугольник. 

Получатся равнобедренная трапеция и равносторонний треугольник. 

Разрезав треугольник по высоте, получим два прямоугольных треугольника с углами, равными 30° и 60°. 

Половинки приложим равными сторонами ( гипотенузами) к боковым сторонам трапеции. Они совместятся. т.к. гипотенузы равны половине стороны треугольника. 

Сумма углов при основании трапеции равна 60°+30°=90°. 

В получившемся четырехугольнике все углы прямые, его длина равна стороне исходного треугольника, а ширина - половине его высоты.  

Площадь окружности:
Sо = пR², отсюда: R = √(So/п) = 4 (см).

Если в трапецию вписана окружность, то её диаметр — средняя линия трапеции (назовём её MN). Тогда средняя линия — два радиуса окружности:
MN = 2R.

Формула средней линии:
MN = 2R = (BC + AD)/2, отсюда: BC + AD = 4R.
BC + AD = 4*4 = 16 (см).

Проведём высоту трапеции из вершины В к основанию AD, точку пересечения высоты и AD назовём Н.

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её противолежащих сторон равна:
AB + CD = BC + AD.

Не забываем, что наша трапеция равнобедренная (AB = CD).

2AB = BC + AD,
2AB = 16,
AB = 8 (см).

Угол BAD = 180° - 150° = 30°.

Рассмотрим треугольник ABH — прямоугольный. Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:
AB = 2BH, отсюда: BH = AB/2 = 8/2 = 4 (см).

Площадь трапеции:
S = (BC + AD)/2 * BH,
S = 16/2 * 4 = 32 см².

ответ: 32 см².