Даны вершины пирамиды: А (2;0;4, В(0;3;7), С(0;0;6), S(4;3;5).
Находим координаты векторов:
АС = (-2; 0; 2), АS = (2; 3; 1).
Их векторное произведение равно: 0 + 4j - 6k - (-2j) - 6i =
= (-6; 6; -6). Модуль этого произведения равен √(36 + 36 + 36) = 6√3.
Площадь грани ACS равна:
S(ASC) = (1/2)*6√3 = 3√3 кв.ед.
Находим вектор АВ = (-2; 3; 3).
Объём пирамиды равен:
V = (1/6)*((AC x AS)*AB) = (1/6)*(12 + 18 - 18) = 12/6 = 2 куб.ед.
Высота, опущенная на грань ACS, равна:
h(ASC) = (3V)/(S(ASC) = (3*2)/(3√3) = 2√3/3.
Пусть стороны прямоугольника a и b см, а расстояние от плоскости прямоугольника до точки К - c см
Тогда по теореме Пифагора для трёх прямоугольных треугольников:
1) Треугольник, содержащий короткую сторону прямоугольника и перпендикуляр к плоскости
a^2 + c^2 = 6^2
2) Треугольник, содержащий короткую сторону прямоугольника и перпендикуляр к плоскости
b^2 + c^2 = 7^2
3) Треугольник, содержащий диагональ прямоугольника и перпендикуляр к плоскости
a^2 + b^2 + c^2 = 9^2
Сложим первые два уравнения
a^2 + b^2 + 2*c^2 = 6^2 + 7^2
Вычтем отсюда третье уравнение
с^2 = 6^2 + 7^2 - 9^2 = 36 + 49 - 81 = 85 - 81 = 4
c = 2 см
