Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника.
Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º
Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М.
Пусть АК=х, ВН=у.
Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у
АВ=х+у
АС=х+3, ВС=у+3
Формула радиуса вписанной окружности
r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр
р=х+у+3
3=84:(х+у+3)
х+у+3=28⇒
х+у=25
у=25-х
АВ=х+у=25 дм
АС=х+3
ВС=25-х+3=28-х
По т.Пифагора
(х+3)²+(28-х)²=625
Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение
х²-25х+84=0
D=25²-4·84=289
Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4
АС=21+3=24 дм
ВС=28-21=7 дм
Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25
Объяснение:
Задание А
ΔАВС, ВD-биссектриса, ∠А=50° ,∠В=60°.
1)По т. о сумме углов треугольника ∠С=180°-50°-60°=70°.
Т.к. ВD-биссектриса, то ∠DВС=60°:2=30°
ΔВDС ,∠ВDС=180°-30°-70°=80°
2)В треугольнике ΔВDС против большего угла лежит большая сторона :70°>30°,∠С>∠ВDС и значит ВD>DС.
Задание В
1)ΔNMK , по т.о сумме углов треугольника ∠N=180°-75°-35°=70°.
2)NО-биссектриса, значит ∠ОNК=70°:2=35°. В ΔОNК два угла по 35°, значит он равнобедренный и ОК=NО.
3)ΔОМN , срвним углы 75°>30°, т.е ∠М>∠МNО и значит NО>МО. Но NО=ОК, значит ОК>МО.
Задание С
1)ΔАВС, ∠А=90°-70°=20° по св. острых углов прямоугольного треугольника.
2)DC=BC, значит ΔDCВ-равнобедренный и прямоугольный и ∠СВD=∠DВC=(180°-90°):2=45°.
Значит ∠DВА=70°-45°=25°
3)∠АDВ=180°-45°=135° по т. о смежных углах
4) В ΔВDC-прямоугольном ∠С=90° самый большой, значит против него лежит большая сторона DВ>DC
