№1 на продолжении стороны ав равнобедренного авс (ав=вс) отложен отрезок bd. точки d и с соединены отрезком. периметры cdb и adc равны соответственно 27 см и 37 см. вычислите длину основания ас.

№2 в авс а= с. на сторонах ав и св отложены соответственно точки м и n так, что мса= nас. докажите, что anb= cmb.

№3 точки c и d расположены по разные стороны от прямой ав так, что ad=ac, bd=dc. докажите, что ав – биссектриса dac.

№1 Для решения данной задачи мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, где равными являются основание и боковая сторона.

Обозначим длину отрезка bd как х, тогда длина отрезка ad будет также х, так как ad=ac.

Периметр треугольника cdb равен сумме длин сторон cdb, cd и bd, т.е. cdb = 2х + х = 3х.
Периметр треугольника adc равен сумме длин сторон adc, ad и dc, т.е. adc = х + х = 2х.

Из условия задачи имеем систему уравнений:
сdb = 27
adc = 37

Подставим значения периметров из системы уравнений:
3х = 27
2х = 37

Решим первое уравнение относительно х:
3х = 27
х = 27/3
х = 9

Теперь найдем длину основания ас:
ac = ad + dc
ac = 9 + 9
ac = 18

Таким образом, длина основания ас равна 18 см.

№2 Для доказательства равенства anb = cmb воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и равенством построенных на основании смежных сторон углов.

Так как в треугольнике авс основание равностороннего треугольника равно стороне с, то углы mas и nac (построенные на основании сторон ав и с соответственно) равны.

Из условия задачи дано, что мca = nac, следовательно, мca = mas.

Теперь рассмотрим треугольник anb (на стороне св построена точка n): угол anb равен сумме углов mas и mca, так как углы, составленные на основании треугольника авс, равны. Таким образом, anb = mas + mca.

Также рассмотрим треугольник cmb (на стороне ав построена точка m): угол cmb также равен сумме углов mas и mca, так как углы, составленные на основании треугольника авс, равны. Таким образом, cmb = mas + mca.

Из полученных уравнений англов следует, что anb = cmb.

Таким образом, доказано, что anb равно cmb.

№3 Для доказательства того, что ав - биссектриса dac, мы можем использовать свойства равенства сторон и углов треугольника.

Из условия задачи дано, что ad = ac и bd = dc.

Рассмотрим треугольник adc. Так как ad = ac, то угол a равен углу c (по свойству равнобедренного треугольника).

Также из условия задачи следует, что bd = dc. Значит, у треугольника bdc парак за a и c также равны.

Теперь рассмотрим треугольник авс. Угол с равен сумме углов a и b (по теореме о сумме углов треугольника).

Также, так как ad = ac, то угол a равен углу c (по свойству равнобедренного треугольника).

Из полученных уравнений следует, что угол a равен углу с и угол b. То есть, ав является биссектрисой угла dac.

Таким образом, доказано, что ав - биссектриса dac.