Abc треугольники были сделаны высотами ad и bc. докажите, что треугольники acd и bce похожи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
         b
r = ----------- , где b - сторона правильного треугольника
        2√3

b = r * 2√3 
b = 3√3 * 2√3 = 6 * 3 = 18 (cм)

Периметр треугольника - сумма длин всех сторон
p = b + b + b = 3b
p = 3 * 18 = 54 (cм)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:
S= 1/2 * p * a, где p - периметр основания пирамиды, а - апофема

S = 1/2 * 54 * 9 = 243 (cм²)

a) АА₁║(ВСС₁)

b) AA₁║(BDD₁)

c) AA₁ ∩ (BDC₁)

d) AA₁║(KLM)

e) AA₁ ∩ (CNK)

f) AA₁ ∩ (LMN)

Объяснение:

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.

а) АА₁║ВВ₁, ВВ₁║СС₁ как противоположные стороны квадрата,

значит АА₁║СС₁.

СС₁ ⊂ (ВСС₁), ⇒ АА₁║(ВСС₁).

b) АА₁║ВВ₁, ВВ₁ ⊂ (BDD₁), ⇒ AA₁║(BDD₁)   (рис. 1)

c) Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

АА₁║ВВ₁, ВВ₁ ∩ (BDC₁),  ⇒  AA₁ ∩ (BDC₁)  (рис. 1)

d) Точки К и М - середины равных параллельных ребер В₁С₁ и ВС, значит В₁К║ВМ и В₁К = ВМ, ∠В₁ВК = 90°, значит ВВ₁КМ - прямоугольник, тогда ВВ₁║КМ.

АА₁║ВВ₁, ВВ₁║КМ, ⇒ АА₁║КМ,

КМ ⊂ (KLM), ⇒ AA₁║(KLM)  (рис. 2)

e) Параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.

AA₁ ∩ (CNK)  (рис. 2)

f) ВВ₁ ∩ (LMN), AA₁║BB₁, ⇒  AA₁ ∩ (LMN)(рис. 1)