По-моему так.
Дана трапеция ABCD. BC=CD=1/2AD.
Проведем прямую ВК параллельно CD.
BCDK-ромб. Угол D=60 гр, следовательно угол BKD=120 гр., а угол АКВ=60 гр.
KD=BC=CD=BK, следовательно KD=1/2AD.
Рассмотрим треугольник АКВ-равнобедренный (ВК=АК), угол АКВ=60 гр, следовательно угол ВАК= углу АВК=60 гр. Треугольник АВК-равносторонний (АВ=ВК=АК=1, следовательно ВС=CD=KD=1).
Проведем высоту (медиану и бис-су) ВЕ.
ВЕ^2 = AB^2 - AE^2
BE = корень из 3/4
Sтрап = (ВС+AD)/2 * BE = (1+2)/2 * корень из 3/4= 3/2 * корень из 3/4
Назовём квадраты АВСД и КЛМН, точка пересечения их диагоналей - т.О. Представим, что они расположены так, что при смещении на 45 градусов вершина К одного квадрата лежит ровно между вершинами А и В другого. Площадь полученной фигуры будет складываться из первоначального квадрата АВСД и 4-х выпирающих маленьких треугольников с вершинами К, Л, М и Н.
Т.к. треугольники равные, достаточно рассмотреть один с вершиной К. Назовем точки пересечения КН, КМ и КЛ и со стороной АВ как Ч,Ш и Щ.
Из треугольника КЛМ: КМ^2=КЛ^2+ЛМ^2=2, значит КМ=корень из 2.
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ЧКЩ. Его высота КФ=(диагональ квадрата-сторона квадрата)/2=(корень из 2-1)/2.
Т.к. угол ЧКЩ=90 и делится диагональю КМ пополам, то угол ФКЩ=КЩФ=45, значит ФЩ=КФ, значит ЧЩ=2*ФЩ=2*КФ=2*(корень из 2-1)/2=корень из 2-1
S(ЧКЩ)=КФ*ЧЩ/2=(корень из 2-1)/2 * корень из 2-1 * 1/2=(корень из 2 - 1)^2/4
Площадь полученной фигуры = 1*1+4*S(ЧКЩ)=1+(корень из 2-1)^2
