Вариант 5
даны вершины a(-4,8), b(5,-4), c(10,6)
треугольника abc.
найти: 1) длину стороны ab;
2) уравнения сторон ав, ас, вс в общем виде;
3) уравнение средней линии nk, (nk||св);
4) косинус внутреннего угла а;
5) уравнение медианы am и её длину,
6) уравнение высоты сн и ее длину;
7) уравнение окружности с диаметром ab.
сделать чертеж.​

Доказательство:

1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.

4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.

Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).

Отсюда BO=CO.

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.

Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы

Пусть у нас введна некая мера длины t, такая, что длины сторон 3*t, 4*t, 5*t, 7*t, 8*t. Шестая сторона нам не известна.

Пусть x, y, z, u, v, w - различные отрезки сторон от вершины до точки касания, причем выраженные в системе измерения длины t (то есть длина отрезка в сантиметрах равна x*t, y*t, и так далее). Стороны равны сумме двух таких отрезков каждая, включая шестую.  Запишем 5 известных соотношений.

x + y = 3;

y + z = 4;

z + u = 5;

u + v = 7;

v + w = 8;

нам надо выяснить, чему равно w + x;

последовательно исключаем переменные y z u v;

x - z = -1; Вычли из первого второе.

x + u = 4; Прибавили третье.

x - v = -3; Вычли четвертое. 

x + w = 5; Прибавили пятое. Значит шестая сторона равна третьей.

Итак, пропорцию можно закончить так 3:4:5:7:8:5; :)))

Осталось вычислить t. 

80 = t*(3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 5) = 32*t; t = 10/4,

Шестая сторона будет 50/4, то есть 12,5

 

1) Если прямоугольник вписан в окружность, то его диагональ - диаметр этой окр-сти, тогда ВD= 2*R=2*5=10.

2)Пусть АВ =а, ВС =b, тогда по теореме Пифагора а^2+b^2=BD^2

                                                                             а^2+b^2=100 

C другой стороны: a*b= 48. Решим систему ур-ий:

   { а^2+b^2=100 

     a*b= 48          I *2 и сложим уравнения

 

 { а^2+b^2=100 

    2* a*b= 48 *2

  а^2+b^2+ 2* a*b =196

  (a+b)^2= 14^2  

   a+b= 14

 P = 2*(a+b) =2*14=28

ответ : 28.