На ребрах aa1 bb1 і ad куба abcda1b1c1dl позначили відповідно точки μ, k і е (рис. 118). побудуйте переріз куба площиною мkе.

Основания трапеции параллельны, диагонали трапеции - секущие и при пересечении с ними образуют равные накрестлежащие углы. 

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. ⇒ 

∆ ВОС ~∆ АОD по 1 признаку подобия. 

СО:ОА=3:7=> ВС:АD=3:7

КН - средняя линия ∆ АВС.

НМ - средняя линия ∆ САD

Отношения сходственных элементов подобных фигур равны. =>

КН:НМ=3:7

КН+НМ=10 частей

10:10=1 см - длина каждой из 10 частей. 

КН=3•1=3 см => BС=2•КН=6 см

НМ=7•1=7 см

АD=2•7=14 см

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 15см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат.
Решение.
По Пифагору найдем второй катет основания призмы:
√(15²-12²)=√(27*3)=9см.
Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано).
Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы.
Sб=36*12=432см².

2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ.
Решение.
Условие для однозначного решения не полное.
Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2".
Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его?
Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины?
Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN).
Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ.
Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.