Для доказательства данных тождеств мы воспользуемся свойствами тригонометрических функций и определением этих функций.
Первое тождество: tg(90° - а) = ctgа (a ≠ 0°).
Для начала, введем в рассмотрение правильный треугольник ABC, где угол A равен 90°. Пусть угол B равен а, а угол C будет соответственно (90° - а).
Высота треугольника BC (проведенная из вершины B) является противоположной стороной угла а, а сторона AC является прилежащей стороной угла а.
Теперь рассмотрим отношение величин сторон этого треугольника:
tg(90° - а) = BC/AC.
С другой стороны, по определению тангенса:
tgа = BC/AC.
Мы видим, что оба отношения BC/AC равны, следовательно, tg(90° - а) = tgа.
Для этих угловобратными функциями являются ctg и cot, и мы можем провести аналогичное доказательство, используя другие соотношения треугольника.
Второе тождество: ctg(90° - а) = tga (a ≠ 0°)
Рассмотрим снова треугольник ABC, где угол A равен 90°. Пусть угол B равен а, а угол C равен (90° - а).
Высота треугольника BC (проведенная из вершины B) является противоположной стороной угла а, а сторона AC является прилежащей стороной угла а.
Опять же, по определению тангенса:
tg(90° - а) = BC/AC.
С другой стороны, рассмотрим отношение величин сторон треугольника ABC:
ctgа = AC/BC.
Но мы знаем, что углы B и С являются смежными (сумма их равна 90°), поэтому их противоположные/перпендикулярные стороны также являются противоположными/перпендикулярными друг к другу.
Следовательно, BC/AC = AC/BC, и мы получаем ctg(90° - а) = ctgа.
Таким образом, оба тождества tg(90° - а) = ctgа и ctg(90° - а) = tgа верны для любого значения угла а, не равного 0°.
