пусть дан выпуклый 4хугольник АВСД,
М, К, Е, Р - середины сторон АВ, ВС, СД, АД соответственно. Соединим точки М, К, Е, Р и докажем что 4хугольник МКЕР-параллелограмм.
Проведём диагональ ВД. МР и КЕ средние линии треугольников АВД и ВСД, по свойству средние линии параллельны основанию и равны его половине, поэтому МРпараллельна ВД и КЕ параллельна ВД, МР=1/2ВД и КЕ=1/2ВД. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, поэтому МРпараллельна КЕ и МР=Ке. По признаку параллелограмма, если в 4хугольнике две стороны параллельны и равны то этот 4хугольник параллелограмм, значит МКЕР-параллелограмм
Если М - середина ВС, получается, что СМ=МВ. Так как треугольник АВС равносторонний, то АМ явлеятся в треугольнике высотой, медианой и биссектрисой.
Рассмотрим треугольник АВМ:
1. АВ = 3 корня из 3
2. ВМ = 3 корня из 3 / 2 (так как М - середина ВС)
3. АВС - прямоугольный, так как АМ - высота в равностороннем треугольнике
По теореме Пифагора :
АВ в квадрате = ВМ в квадрате + АМ в квадрате
(3 корня из 3)^2 = (3 корня из 3/2)^2 + АМ ^2
Отсюда АМ^2 = 27 - 27/4
4АМ^2 = 108 - 27
4АМ^2 = 81
АМ^2 = 81/4
АМ = 9/2 = 4.5
