2.48 тік бұрышты үшбұрыштың белгісіз қабырғалары
бурыштарын берілген мәліметтер бойынша табыңдар.
1) екі катеті бойынша:
а) а=3, b=4;
b) a=11, b=60;
ә) a=9, b=10;
г) а=6, b=8;
б) а=20, b=21;
д) a=5, b=12.
с
2) гипотенузасы және катеті бойынша:
а) с=13, a=5;
б) с=17, a=8;
ә) c=25, a=7;
в) с=85, a=84.
3) гипотенузасы және сүйір бұрышы бойынша:
а) с=2, а=20°;
б) с=8, a=70°36';
ә) c=25, а=50°20';
в) с=16, a=76°21'.
4) катеті және оған қарсы жатқан сүйір бұрышы бойынша:
а) а=3, а= 30°27';
б) a=7, а= 60°35';
ә) a=5, а= 40°48';
в) a=9, а= 68°.​

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

AO=OC 

BO=OD 

∠AOD=∠COB (вертикальные)

Значит, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними). 

∠ADO=∠CBO (если треугольники равны, то и соответствующие углы тоже равны). Эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD.

AD∥BC (по признаку параллельных прямых)

AOB=COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD (аналогично треугольникам AOD и COB.

Доказали, что AD∥BC и AB∥CD

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению)

1.Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. 
 AOD = COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно,  OBC =  ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана. 

2.Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. 
Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC. 
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (ADB = CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая). 
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана. 

3.Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.  
Пусть дан четырехугольник ABCD.  DAB = BCD и ABC = CDA. 

Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º, 
 DAB +  BCD +  ABC +  CDA.= 360 . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то DAB + ABC = 180 º и  BCD +  CDA = 180 º. 
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.