Точка d не лежить у площині трикутника abc. точки m, t і k-відповідно середини відрізків ab, ac і ad. довести, що площина bcd паралельна площині mtk.

ответ: a) 62°;  б) 118°

Объяснение: Вопрос явно неполный - не указан второй из смежных углов. Правильно: Углы ABC и BCD – смежные, причем угол ABC равен 124 градуса. Найдите угол между перпендикуляром, проведенным из точки B к прямой AD и биссектрисой угла CBD.

       *   *   *

 Сумма смежных углов 180°, поэтому ∠СВD=180°- ∠ABC=180°-124°=56°.

Обозначим биссектрису угла СВD как ВМ. Биссектриса угла делит его пополам, поэтому ∠СВМ=∠DBM=56°:2=28°

    У задачи 2 варианта решения.

а) Перпендикуляр ВК к прямой AD лежит в той же полуплоскости, что луч ВС.  Тогда искомый угол КВМ=∠КВD-∠MBD=90°-28°=62°

б) Перпендикуляр ВК1 лежит во второй полуплоскости. Тогда искомый угол К1ВМ=∠K1BD+∠DBM=90°+28°=118°

858.1) Доказать, что четырёхугольник АВСД - квадрат, если:
А(1; 2), В(4; 5), С(7; 2), Д(4; -1).

Четырёхугольник АВСД - квадрат в том случае, если его стороны равны и диагонали равны.
Находим длины сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √18 ≈ 4,242640687, 
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √18 ≈ 4.242640687, 
СД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²) = √18 ≈ 4.242640687, 
АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²) = √18 ≈ 4.242640687.

Находим длины диагоналей:
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √36 = 6,
ВД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²) = √36 = 6.

Доказано, условия подтверждены.

861.2) Найти угол А треугольника АВС если:
А(1; 2), В(-1; 3), С(3; 2).
Находим длины сторон
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √5 ≈ 2.236067977, 
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √17 ≈ 4.123105626, 
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √4 = 2.

Определяем косинус угла А:
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС)  = -0.894427.
Этому косинусу соответствует угол  2,677945 радиан или 153,4349 градусов.