Точка d- середина стороны ac треугольника abc. de и df - биссектрисы треугольников adb и cdb . отрезки be и ef пересекаются в точке m
докажите что dm=ef/2

 Знайти проекцію точки M(3;-2;0) на площину 3x-2y+z+1=0.  

Для этого надо найти точку пересечения перпендикуляра из точки М к заданной плоскости с самой плоскостью.    

Нормальный вектор этой плоскости равен (3; -2; 1) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки М(3; -2; 0).

((x – 3)/3 = (y + 2)/(-2) = ((z – 0)/1.

Координаты, которые имеет точка Е пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x – 3)/3 = (y + 2)/(-2) = z/1.

{3x - 2y + z + 1 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

-2x + 6 = 3y + 6, отсюда y = (-2/3)x.

x - 3 = 3z, отсюда z = (1/3)x - 1.

Подставим их в уравнение плоскости 3x-2y+z+1=0.

3x – 2((-2/3)x) + 1((1/3)x -1) + 1 = 0,

3x + (4/3)x + (1/3)x – 1 + 1 = 0,

(14/3)x = 0,

x = 0,

y = (-2/3) *0 = 0,

z = (1/3)*0 - 1 = -1.

Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки М и плоскости, которая и является проекцией точки М на заданную плоскость.

ответ: Е(0; 0; -1).

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301