Шестиугольник abcdef вписан в окружность с радиусом r. известно, что равны следующие пары хорд: bc = ce,
bf = f e, af = cd. найдите r, если ab = 3, bd = 7.

Чисто геометрически   задача решается   легко.
4  угол  четырехугольника PBKM равен   360-90*3=90.
Таким образом PBKM-прямоугольник.
Проведем вторую диагональ   прямоугольника  BM.
То  BM=PK (как  диагонали прямоугольника)
ТО наименьшая PK  будет   при наименьшей BM.
А  длинна отрезка BM,является наименьшей  когда является высотой. (тк перпендикуляр  всегда меньше наклонной)
Таким образом  для нахождения этой точки  достаточно провести высоту прямого угла треугольника.  Пересечение высоты и гипотенузы и есть  данная точка.
Все гениальное  просто :)

А) Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости α.
Расстояние от точки до плоскости - длина проведенного от точки до плоскости перпендикуляра. 
АА1⊥α; ВВ1⊥ α, ММ1⊥α
Прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. ⇒
АА1║ВВ1║ММ1⇒ АА1В1В - трапеция, а, т.к. М - середина АВ, –
ММ1- средняя линия этой трапеции. ⇒
ММ1=(АА1+ВВ1):2=30:2=15 (ед. длины)
б)
Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости α.
Тогда сумма расстояний от А до α и от В до α равна 
АА1+ВВ1=13+17=30
Пусть АВ - диагональ некоего прямоугольника АСВС1
Проведем из М прямую параллельно А1В1  до пересечения с ВВ1 в точке К. Угол МКВ1- прямой. 
МК= средняяя линия ∆ АВС1, и точка К - середина ВС1. 
ВК=30:2=15.По условию ВВ1=17
КВ1=17-15=2
МКВ1М1 - прямоугольник по построению, ⇒ расстояние ММ1 от М до плоскости равно КВ1=2(ед. длины)