Для начала построим сечение призмы плоскостью АВ1D. Точки А и В1 принадлежат плоскости, содержащей грань АА1В1В, следовательно, линия пересечения этой грани плоскостью сечения пройдет по прямой АВ1. Зная, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным линиям, проведем в грани DD1C1C из точки D прямую, параллельную прямой АВ1 до пересечения с ребром СС1 этой грани в точке Р. Соединив точки А,В1,Р, и D, получим искомое сечение АВ1РD.
Определение: Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).
Проведем перпендикуляр ВН в основании призмы (точка Н - пересечение его с ребром AD) и соединим точки В1 и Н прямой. По теореме о трех перпендикулярах В1Н перпендикулярна прямой AD. Следовательно, <B1HB является линейным углом двугранного угла между плоскостями сечения и основания призмы и равен 30° (дано). Проведем прямую РМ, параллельную прямой АВ.
Сечение призмы представляет собой четырехугольник, состоящий из параллелограмма АМРD и треугольника РМВ1.
Найдем высоту нашей трапеции, ее большее основание и длину перпендикуляра ВН.
В равнобедренной трапеции с углом при большем основании, равном 60°, полуразность оснований равна AD*Sin60 = 8*(1/2) =4. Тогда большее основание равно CD+2*4 = 6+8=14. Из прямоугольного треугольника АНВ получим ВН=АВ*Cos30 =7√3 и из треугольника НВВ1 => В1Н=(7√3)/(√3/2)=14.
Найдем отрезки HQ (высота параллелограмма ADCC1), HJ и JB1.
Sadcc1 = AD*DC*Sin60 = 24√3. => HQ=S/AD = 3√3.
HJ=HQ/Cos30 = (3√3)/(√3/2) = 6.
JB1=HB1-HJ = 14-6=8.
Sab1pd = Sampd+Spmb1 = 8*6+(1/2)8*8 = 80 ед.
ответ: S = 80 ед.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.
Точка М - центр описанной окружности.
Точка О - центр вписанной окружности.
Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.
Радиус вписанной окружности равен по формуле:
r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.
Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.
PB=HB=2см (касательные из одной точки).
Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:
ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .
ответ: расстояние между центрами окружностей равно
√1,25 ≈ 1,12 см.
Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:
d² = R² - 2·R·r.
В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.
тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.
