Вравностороннем треугольнике abc со стороной, равной 10 см, точки k и m- середины сторон ab и bc соответственно.
а) докажите, что akmc- трапеция.
б) найдите периметр akmc
с дано и решением подробным

Как проверить существует ли треугольник с данными сторонами? Это легко, по теореме каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. И так, проверяем
52 должно быть меньше, чем 38+72 и это так,
38 должно быть меньше, чем 72+52 и это так,
72 должно быть меньше, чем 38+52 и это так. Вывод:такой треугольник существует.
2)
10 должно быть меньше, чем 115+1203 и это так,
115 должно быть меньше, чем 1203+10 и это так,
1203 должно быть меньше чем 115+10, но это не так. Вывод: такого треугольника не существует.
3)
1003 должно быть меньше, чем 705+276 и это не так. Можно сразу сделать вывод, что данного треугольника не существует.

Ну, в треуг. к бОльшей стороне проводится мЕньшая высота.
Док-во очень простое, логическое.
Площадь треуг.- величина постоянная? Да. Тогда если брать произведение бОльшей стороны на какую-то высоту (1) и мЕньшую сторону на какую-то высоту (2), то понятно, что (1) должна быть меньше (2)
Соответственно 
10 - 9
15 - 6
18 - 5
Проверяя по площади, находим, что это так.

Но вот только неувязочка с задачей- высоты -то фейковые!
Из решения получаем, что площадь треуг. будет, например , 10*9/2=45

А из сторон 15,18 и 10 по формуле Герона находим истинную площадь - приблизительно 75. 
Тем, кто составлял условие задачи - руки повыдергивать. Так учителю и скажи.