Втреугольнике abc со сторонами ab = 3 ac = 5 bc = 7 в вершинах b и c построены окружности с радиусами 3 и 5 соответственно. через точку a проходит прямая l, пересекающая эти окружности по равным . найдите длину такой хорды

Окружность с центром O проходит через вершину А треугольника ABC,касается прямой BC в точке B и пересекает сторону AC в точке D. если угол С=20 градусов, угол AOB=60 градусов, то градусная мера угла ABD равна
140°.

Это потому, что дуга АВ = 60°(на нее опирается центральный угол АОВ, равный 60°), а дуга ВD =20° (на нее опирается вписанный угол ВАD, равный 10°, так как в  треугольнике АВС угол ВАС = 10°, потому что <OBC=90°(ВС - касательная), <ОВА = 60° (тр-к АОВ -равносторонний), а угол АСВ = 20°, а 180°- 170°=10°. Итак сумма дуг АВ и ВD = 80°. Тогда дуга AD = 360° - 80° = 280°, а вписанный угол АВD имеет градусную меру, равную половине градусной меры дуги AD, на которую он опирается, то есть 140°

Основания трапеции параллельны, каждая боковая сторона при них - секущая. Поэтому сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°, так как они внутренние односторонние. 

Обозначим трапецию АВСД. По условию ∠А:∠С=1:2

∠Д:∠В=7:8 

Примем угол А=а, тогда угол С=2а.

Примем угол Д=7b, тогда угол В=8b

a+8b=180° 

2a+7b=180° 

Приравняем левые части уравнений:

а+8b=2a+7b⇒

b=a

Подставим в первое уравнение вместо b - а

Тогда а+8а=180°⇒

а=20°. Следовательно, ∠ВАД=20°, ∠АВС=8•20°=160°;

∠ВСД=2•20=40°; ∠СДА=7•20=140°.