1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен
2r = a+b-c
a+b-c = 8
a+b = c+8
Периметр треугольника равен
a+b+c = P
a+b+c = 90
a+b = 90-c
Так как левые части выделенных равенств равны, приравниваем правые части и находим гипотенузу с.
с+8=90-с
с+с=90-8
2с=82
с=41
2. Составим систему уравнений, где а и b - катеты.
Первое уравнение составим из первого выделенного равенства, подставив вместо с число 41: a+b=41+8; a+b=49
Второе уравнение составим, используя теорему Пифагора:
а²+b² = 41²
a²+b² = 1681
Получили систему уравнений:
⇔ 
a²+(49-a)²=1681
a²+2401-98a+a²-1681=0
2a²-98a+720=0 /2
a²-49a+360=0
D=2401-1440=961
a₁ = (49-31)/2 = 9 b₁ = 49-9 = 40
a₂ = (49+31)/2 = 40 b₂ = 49-40 = 9
ответ. Катеты равны 9 см и 40 см.
SABC - пирамида. Из условия следует, что высота пирамиды SO проецируется в середину гипотенузы (центр описанной окр-ти). Плоск SAC перп. пл-ти ABC.
Треуг.SAC - прямоуг и равнобед.
Сформируем линейный угол искомого двугранного угла:
Проведем BF перпенд АС, BD перп. SC, FD перп SC.
BF перпенд FD ( FD перп всей SAC), Треуг. BFD - прямоуг.
Угол BDF = b = ?
Пусть с = АС - гипотенуза тр. АВС.
Выразим через с и данный угол( а = ВАС) все необходимые компоненты:
FB = c*cosa*sina, FC = c*sina*sina = c*sin^2(a), FD = FC*sin45 =
=(c*sin^2(a)) / кор2.
tgb = FB/FD = [c*cosa*sina*кор2] /(c*sin^2(a)) =(кор2)ctga
Отсюда:
b = arctg[(кор2)ctga]
