Дан треугольник abc: a (4; 1) b (7; 5) c (-4; 7). найти:
1) периметр
2) длину биссектрисы ak
3) длину медианы bm
4) центр тяжести треугольника
5) внутренние углы

1.Трапеция ABCD. AB=16. DC=44. AD=17. BC=25.
Проведем две высоты: АМ и BN. Обозначим каждую высоту за х.
Сторону NC обозначим за у.
Тогда DM=44-16-y=28-y.
По Пифагору:
•треугольник AMD:
х^2=17^2-(28-у)^2
х^2=289-784+56у-у^2
x^2=56y-y^2-495
•треугольник BCN:
х^2=25^2-у^2
х^2=625-у^2
Приравниваем:
56у-у^2-495=625-у^2
56у=1120
у=20.
Подстваляем в любое уравнение:
х^2=625-20^2
х^2=225
х=15.
ответ: высота трапеции - 15.
2. Трапеция ABCD.
Угол ADC=30 градусов.
AD=BC=x - боковая сторона.
Проводим высоту АМ. Обозначаем еe за h.
S=(AB+DC)*h/2.
По свойству(если в четырехугольник вписана окружность, то сумма двух его параллельных сторон равна сумме двум другим параллельным сторонам) определяем, что AB+DC=AD+BC=2x.
S=2x*h/2=x*h=32.
Находим высоту:
Так как она лежит напротив угла в 30 градусов, то по Пифагору она равна половине гипотенузы, т.е. h=x/2.
Подставляем в формулу:
S=x*x/2=32
х^2=64
х=8.
ответ: боковая сторона равнобокой трапеции - 8.

1) ОБозначим треугольник АВС, АВ=ВС=13 см, ВН=5 см. 

∆ АВС равнобедренный, По свойству высоты проведенной к основанию равнобедренного треугольника, ВН= биссектриса и медиана. ⇒ АН=СН. 

В ∆ АВН- отношение гипотенузы АВ и катета ВН=13:5, это треугольник из Пифагоровых троек, ⇒ АН=12 см. ( можно найти по т.Пифагора)

S (АВС)=ВН• АС:2=5•12=60 см²

                                           * * *

2)  Полное условие: В параллелограмме АВСД АВ=8 см, АД=10 см, угол ВАД=30°. Найдите площадь параллелограмма.

Одна из формул площади параллелограмма 

 S=a•b•sinα, где а и b соседние стороны, α - угол между ними. 

S=8•10•1/2=40 см²

                                        * * *

3) Высота данной трапеции, проведенная из вершины С тупого угла, параллельна и равна стороне АВ ( обе перпендикулярны АД)

 В ∆ СНД  острый угол СДН=45°, следовательно, угол ДСН=45°, ⇒ НД=СН=10 см. 

В прямоугольнике АВСН сторона АН=ВС=18-10=8 см

S (АВСД)= 0,5•(АВ+АД)•СН=0,5•26•10=130 см²