Даны уравнения 8x+3y+1=0 и 2x+y-1=0 двух сторон параллело- грамма, а также уравнение 3x + 2 y + 3 = 0 одной из его диагоналей. найти ко- ординаты вершин этого параллелограмма.

Трапеция - четырехугольник. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

 Сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру. 

ВС+АД=АВ+СД=120:2=60

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию)

Средняя линия равна (АД+ВС):2=30

ВН и СК - высоты трапеции. 

Высоту ВН трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований 

ВН= 540*30=18

Трапеция равнобедренная ⇒ АН=КД

Из прямоугольного треугольника АВН найдем АН:

АН=√(30²-18²)=24

ВС+НК+АН+КД=60

ВС=НК; АН=ДК

2 ВС+2*24=60

2 ВС=12

ВС=6

Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. 

Сумма их высот равна высоте трапеции =18 

Пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х

Тогда ВС:АД=х:(18-х)

6:(6+48)=х:(18-х) 

Решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8. 

Это и есть искомое расстояние. 

Следствие 1.  если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.следствие 2.  если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.пусть прямые  a  и  b параллельные, а прямая  c перпендикулярна прямой  b. значит, прямая  c  пересекает и прямую  a , т.е.  c  – секущая по отношению к  a  и  b. тогда  угол 1 равен углу 2 , так как они являются внутренними накрест лежащими. следовательно,  угол 2 равен 90 градусов т.е. прямые  a  и  c – перпендикулярны.доказано.