Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также являются углами). докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180°, и два других – тоже.

АВСДЕФ - шестиугольник, АВ=10, ВС=СД=ДЕ=ЕФ=АФ.
В тр-ке ВОК=ВО=D/2=5√2, ВК=ВК/2=5, sin(ВОК)=ВК/ВО=5/5√2=√2/2.
∠ВОК=45°, ∠АОВ=90°.
∠ОАВ=∠ОВА=45°.
В оставшейся части окружности расположено пять равных тр-ков, градусная мера центрального угла каждого из них равна: ∠ВОС=(360-90)/5=54°. ∠ОВС=(180-54)/2=63°.
Градусная мера угла шестиугольника, образованного двумя равными треугольниками, равна сумме углов при основании одного из них.
∠ВСД=63+63=126°.
В шестиугольнике ∠С=∠Д=∠Е=∠Ф=126° - это ответ.
∠А=∠В=∠ОВА+∠ОВС=45+63=108° - это ответ.

ответ: Р = 240 см.

Объяснение:

Рассмотрим 4-угольник ANCM:

Угол NCM = 360 - угол MAN - 90 - 90 (так как AN,AM - высоты) = 360 - 180 - 60 = 120 градусов, причём по свойствам ромба угол NCM равен углу BAD.

Теперь рассмотрим сам ромб. Так как его тупые углы нам известны, то можно найти острые углы:

Угол ADC равен углу ABC и равен (360 - 120 -120)/2 = 120/2 = 60 градусов.

Рассмотрим треугольник ADM. Он прямоугольный с углом AMD = 90 градусов (АМ - высота). Найдём угол DAM:

Угол DAM равен (180 - 90 - угол ADM) = (90 - угол ADC) = (90 - 60) = 30 градусов. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, то есть DM = 1/2 AD => AD = 2DM = 2 * 30  = 60 см.

Так как в ромбе все стороны равны, то Рромба = 4 * AD = 4 * 60 = 240 см.