Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на 2 части , одна из которых равна 5см и 3см. найдите периметр

   Назовём данный треугольник АВС.

ВВ1- высота к АС.

АА1=СС1 - высоты к равным боковым сторонам.

   Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и медианой. ⇒

АВ1=СВ1=30:2=15 см

∆ АВВ1=∆ СВВ1 ( по трем сторонам).

Из ∆ АВВ1 по т.Пифагора

   ВВ1=√(AB²-AB1²)=√(17²-15²)=8 см

Высоты к боковым сторонам найдем из площади ∆ АВС

   Заметим, что ∆ АВС - тупоугольный ( АС² > АВ²+ВС²), поэтому высоты, проведенные к боковым сторонам тупоугольного треугольника, лежат вне его. 

S(ABC)=BB1•AC:2=8•15=120 см²

AA1=2S(ABC):BC

   AA1=CC1= см

Сначала докажем, что если окружность описана около прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на гипотенузе.
пусть, дан треугольник АВС с прямым углом С
пусть, точка О-центр описанной окружности.
рассмотрим следующие треугольники:
ВОС-равнобедренный, ∠ОВС=∠ОСВ,
АОС-равнобедренный, ∠ОАС=∠ОСА
но сумма углов ВСО и АСО=90°, значит,
сумма углов САО + СВО=ВСО +АСО=90°
Сумма углов выпуклого четырехугольника =360°,значит, АОВ=360-90-90=180°, то есть развернутый угол
Кроме того, ОВ=ОА, поскольку О-центр окружности

задача1
АС = 12 см, ВС = 5 см;
АВ=√(СВ²+АС²)=√(144+25)=13 см
ОА=ОВ=13:2=7,5 см.

задача2.
АС = 16 см, ∠В = 30°.
АВ=16:sin30°=16:0,5=32
ОА=ОВ=32:2=16 см