Радиус шара 15 см. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 см от его поверхности. Найти длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстают от А на 20 см Расстояние измеряется перпендикуляром. А находится на отрезке прямой, перпендикулярной диаметру искомой окружности. Точка А от центра шара удалена на 15+10=25 см ( радиус + расстояние) Все точки искомой окружности находятся на поверхности окружности основания воображаемого конуса, "надетого" на шар. Смотрим схематический рисунок - разрез шара через центр и точку А. АО=15+10=25 см. ОК=R АК - расстояние, на которое должна быть удалена точка А от поверхности. КМ- диаметр искомой окружности,КН - ее радиус.
Имеем треугольник АКО со сторонами, отношение которых 3:4:5 - отношение прямоугольного "египетского" треугольника. Радиус искомой окружности КН - высота этого треугольика. Чтобы найти высоту, применим свойство катета прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. Пусть отрезок гипотенузы, заключенный между катетом и высотой, ОН =х Тогда ОК ²=х*25 25х=225 х=9 Из треугольника КНО КН²=КО²-ОН²= 225-81=144 КН=r=12 см Длина окружности с радиусом 12 см С=2πr= 2π12=24π cм
Сделаем рисунок. Пусть перпендикуляр из В будет ВМ, из С - СН Перпендикуляры к одной прямой параллельны, следовательно, ВМ и СН - параллельны. ВF и ЕС при них секущие, и ∠ FBE=∠CFB ( на рисунке это углы ∠ 1=∠2), и FCE=BEC (∠ 3=∠ 4 рисунка) как накрестлежащие. Рассмотрим треугольники ВМD и ВОЕ. Они подобны, так как оба прямоугольные по условию и имеют общий угол DBM (∠ 1 рисунка). Следовательно, и их вторые острые углы равны. ∠ 5 = ∠ 3 треугольника ВОЕ Угол ВСА и угол ВDА (∠ 6 и ∠ 5) вписанные и опираются на одну и ту же дугу, которая стягивается хордой АВ. Следовательно, они равны (∠6 = ∠ 5). Угол ВDМ совпадает с углом ВDА и равен ВЕС (∠ 5 = ∠3 доказано выше). ⇒ ∠BDМ=∠ACH (∠5=∠ 4=∠3) .Т.к. угол ВСА=BDA, то угол ЕСB=ECF (∠5=∠ 6=∠ 4). Рассмотрим Δ АСН и Δ СОF Они прямоугольные, имеют общий угол АСН и потому подобны. Отсюда следует равенство вторых острых углов: Угол САН=углу СFO (∠ 7 = ∠2). Вписанный ∠7 опирается на ту же дугу CD, что вписанный СBD (∠ 8 ) треугольника СВD, следовательно, угол СAH=углу СBF (∠7 = ∠8). Но ∠ 7= ∠2=∠ 1.⇒ ∠1=∠ 8. ⇒∠ 8=∠2 В Δ ВСF углы при основании ВF равны, СО ⊥ BF и делит ∠ ВСF на два равныхи является биссектрисой и высотой Δ ВСF. Следовательно, Δ ВСF - равнобедренный. Но ЕО в треугольнике ВЕF - также высота и медиана, и ВО=ОF. Этот треугольник также равнобедренный. ∠ 9=∠2=∠1, а ∠ 3= ∠10, т.к. ЕО высота и биссектриса равнобедренного треугольинка ВЕF Таким же образом треугольник ВСЕ и треугольник ЕFС равнобедренные и равны между собой. В результате всех этих доказательств мы имеем четырехугольник, в котором все стороны равны, и этого достаточно для того, чтобы утверждать равенство ЕF=ВС=1 ( Даны 2 рисунка - один с решением, другой - без) ------------ [email protected]
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
