Впараллелограмме abcd точки m и n - середины сторон bc и cd, вектор ab= вектору a, вектор ad= вектору b.
докажите:
а) что векторы bd и mn коллинеарны
б) что векторы db и mn коллинеарны ​

1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что:
a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x;
8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8;
Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так 
h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S  = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35;
2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно).
Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2;
m^2 + h^2 = 10^2;
m*h = 48;
Отсюда
(m + h)^2 = 196;
(m - h)^2 = 4;
Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; 
Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6;
то есть - два решения h = 6 или 8;
ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию. 

Совершим параллельный перенос точки A вдоль прямой AB к середине AB. Обозначим ее как N. Поскольку AB || CD, а CD⊂(SCD), расстояние от A до (SCD) равно расстоянию от точки N до плоскости (SCD). На грани SCD проведем апофему (высоту из S). Она пересечет CD в точке M. Точка M является серединой CD, так как пирамида правильная (из этого следует, что SCD равнобедренный). NM || AD. Соответственно, в полученном треугольнике SNM высота из N на сторону SM будет являться перпендикуляром из N на плоскость (SCD), то есть длина высоты в треугольнике SNM из вершины N является искомым расстоянием.
Рассмотрим треугольник SNM. Это равнобедренный треугольник, где SN = SM. Пусть O - проекция вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды. Так как пирамида правильная, O является серединой NM, а SO - высотой треугольника SNM из вершины S. По условию, SO = 4 см, AD = 6 см. Так как AD = NM = 2OM, то OM = 6 см / 2 = 3 см. Из прямоугольного треугольника SOM находим SM: SM = √(SO²+OM²) = 5 см.
Пусть искомое расстояние равно h. Площадь треугольника SNM найдем двумя
1) S = 1/2 * SO * NM
2) S = 1/2 * h * SM
Приравняем их и выразим h:
h = SO * NM / SM = 4 см * 6 см / 5 см = 4.8 см.