Доказать что это паралеллограмм ​

Из условия, что сумма квадратов расстояний от точки кривой до начала координат и до точки А(-а,0) остается постоянной, равной величине а^2, делаем вывод, что точка движется по окружности.
Отрезки, соединяющие точку кривой с точкой А и началом координат, это катеты прямоугольного треугольника, где а - его гипотенуза.
Запишем заданное условие точки М(х; у) на координатной плоскости.
((х - (-а))² + у²) + (х² + у²) = а².
х² + 2ах + а² + у² + х² + у² = а².
2х² + 2у² -2ах = 0.
х² + у² + ах = 0.
Выделим полный квадрат:
(х²  + ах + (а²/4)) + у² - (а²/4) = 0.
Получаем каноническое уравнение окружности:
(х + (а/2))² + у² = (а/2)².
Это окружность с центром в точке ((-а/2); 0) и радиусом R = (a/2).

Задачу можно решать разными

Ниже предложены два с  самыми простыми, на мой взгляд, вычислениями. 

1)

Формула медианы треугольника

М=0,5•√(2a²+2b²-c²). где а и b стороны, между которыми проведена медиана, с - сторона, к которой она проведена. 

Обозначим треугольник АВС, АВ=ВС=10,  АС=х, медиана АМ=√153

√153=0,5•√(200+2x² -100)

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

153= 0,25•(100+2х²) откуда

153:0,25=100+2х²

2х²=512⇒

х²=256 

х=16 

ВН - медиана, ⇒АН=СН=8

По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, ВН - его высота. ⇒

∆ АВН прямоугольный. 

По т.Пифагора ( или заметив, что ∆ АВН - египетский) находим длину медианы ВН=6.

Или 

2) 

Продлим медиану АМ на её длину до точки Е, соединим В и С с т.Е. Четырехугольник АВЕС - параллелограмм ( по признаку: диагонали в т.пересечения делятся пополам). 

По свойству параллелограмма 

d²+D²=(2•(a²+b²),  где d и D - диагонали параллелограмма, , а и b - его стороны. 

ВС²+АЕ²=2•(АВ²+АС²) 

АЕ=2•√153 ⇒

100+612=2•(100+АС²) ⇒

АС=16

Медиана ВН находится, как в первом решении. .