асательная прямая t к окружности c пересекает окружность в единственной точке t. для сравнения, секущие прямые пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. это свойство касательной прямой сохраняется при многих преобразованиях[en], таких как подобие, вращение, параллельный перенос, инверсия и картографическая проекция. говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.
радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. и обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. окружность вместе с касательной прямой имеют осевую симметрию относительно радиуса (к точке касания).
по теореме о степени точкипроизведение длин pm•pn для любого луча pmn равно квадрату pt, длине отрезка от точки p до точки касания (отрезок показан красным цветом).никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. в то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку p с центром окружности o (см. рисунок справа). в этом случае отрезки от точки p до двух точек касания имеют одинаковую длину. по теореме о степени точки квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки p относительно окружности c. эта степень равна произведению расстояний от точки p до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через p.
угол θ между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой между концами хорды.касательная прямая t и точка касания t свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о полюсе и поляре. такая же взаимосвязь существует между точкой p вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.
если точка p лежит вне окружности с центром o, и если касательные прямые из p касаются окружности в точках t и s, то углы ∠tps и ∠tos в сумме 180°.
если хорда tm проведена из точки касания t прямой p t и ∠ptm ≤ 90°, то ∠ptm = (1/2)∠mot.
Даны точка А(-1; 2) и кривая x² + y² = 16.
Квадрат расстояния между двумя точками определяется соотношением d²=(x1−x2)²+(y1−y2)². Так как надо найти расстояние от точки до кривой, то координаты второй точки (лежащей на кривой) должны удовлетворять ее уравнению, поэтому d²=(x1−x2)²+(y1−f(x2))²=
= (x + 1)² + (√(16 - x²) - 2)² = x² + 2x + 2 + 16 - x² - 4√(16 - x²) + 4 =
= 2x −4√(16 - x²) + 20.
Расстояние от точки до кривой - это минимальное расстояние между двумя точками, одна их которых лежит на кривой. Тогда для нахождения расстояния нам надо найти минимум функции определяющей расстояние, то есть, найти ее производную и приравнять нулю.
(d²)′ = 2(√(16 - x²) + 2x) / √(16 - x²).
Приравняем нулю числитель (можно выражение в скобках).
√(16 - x²) + 2x = 0 или √(16 - x²) = -2x.
Отсюда вывод: знак переменной х отрицателен.
Возведём обе части в квадрат.
16 - x² = 4x²,
5x² = 16, отсюда х = +- 4/√5, но у нас х = -4√5.
Находим у = +-√(16 - x²), но так как точка А имеет ординату с плюсом, то и ближайшая точка на кривой тоже с плюсом.
у = √(16 - (-4/√5)²) = √(16 - (16/5)) = √(64/8) = 8/√5.
Расстояние находим по вышеприведенной формуле.
d² = (-4/√5) - (-1))² + (8/√5 - 2)² = 21 - 8√5.
d = √(21 - 8√5) = √(16 - 8√5 + 5) = √(4 - √5)² = 4 - √5 ≈ 2,236.
Эту задачу можно было решить проще.
Заданная кривая x² + y² = 16 это окружность с центром в начале координат и радиусом 4.
Ближайшая точка лежит на одном радиусе ОА.
ОА = √(-1 - 0)² +(2 - 0)² = √5.
ответ: d = 4 - √5.
