Пусть общая высота конуса и пирамиды равна Н.
Обозначим объемы конуса и пирамиды через V1 и V2 соответственно ,
а их боковые поверхности – через S1 и S2
тогда V1=1/3pi*R^3H , S1=pi*RL ,
где L-образующая конуса.
Найдем V2 и S2.
Так как периметр основания пирамиды равен 2р ,
а основание конуса – вписанная в основание пирамиды окружность,
то площадь основания пирамиды равна pR,
откуда V2=1/3pRH, S2=pL (высота любой грани равна L).
Тогда
V1 : V2 =1/3piR^2H : 1/3pRH = pi*R/p
S1 : S2 =pi*RL : pL = pi*R/p
ответ V1 : V2 = S1 : S2 = pi*R/p
∠АОВ и ∠COD вертикальные,
∠ВОС и ∠AOD вертикальные.
Проведем:
ОЕ - биссектрису ∠АОВ,
OF - биссектрису ∠СOD,
OK - биссектрису ∠BOC,
OM - биссектрису ∠AOD.
Сначала докажем, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
∠ВОА и ∠ВОС смежные, значит их сумма равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
Биссектрисы разбили эти углы на пары равных углов:
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, значит
2 ·∠2 + 2 ·∠3 = 180°
2(∠2 + ∠3) = 180°
∠2 + ∠3 = 90°, значит
ОЕ⊥ОК.
∠СОВ и ∠COD смежные, значит и их биссектрисы пересекаются под прямым углом:
OF⊥OK.
Углы ЕОК и FOK имеют общую сторону ОК и составляют в сумме 180°, значит они смежные, следовательно стороны ОЕ и OF являются дополнительными лучами, т.е. лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
