Решить контрольную

1) в тэтрайдере dabc точки klnm- середины рёбер db, dc, ac, ab соответственно. докажите что точки klnm-параллелограм.

2)через конец точки а отрезка ab проведена плоскость альфа.чеоез конец точки b и через середину отрезка ab-точку m проведены параллельные прямые,пересекающие плоскость альфа в точках b1 и m1 соответственно. найдите mm1,если bb1-18 cm.

3)adnp-трапеция, ad и pn-основания трапеции. точка b не лежит в плоскости трапеции adnp, adb-треуголник. докажите что pn ll adb

1) Для доказательства того, что точки K, L, N, M являются серединами рёбер параллелограмма ABCD, воспользуемся свойствами трапеций.

Докажем, что K и L являются серединами ребра DB. По свойству серединного перпендикуляра, отрезок KL будет перпендикулярен ребру DB. Кроме того, так как DK=KB и DL=LB, то прямые KL и AB параллельны и равны между собой, иначе бы треугольник DAB не был равнобедренным. Значит, KL - это середина ребра DB.
Аналогично можно доказать, что N и M являются серединами ребра DC, AC и AB соответственно.

Теперь докажем, что KLMN - параллелограмм. Для этого достаточно показать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

Рассмотрим сторону KL. Так как K и L - середины ребра DB, то DK=KB и DL=LB. Из этого следует, что треугольники DKB и LBC равны, так как у них равны две стороны и равны прилежащие к ним углы. Значит, у этих треугольников также равны противоположные углы.
Таким же образом можно показать, что противоположные стороны KN, NM и ML равны и параллельны.

Так как стороны KLMN равны и параллельны, а углы противоположные сторонам равны, KLMN является параллелограммом.

2) Для нахождения MM1, воспользуемся свойствами параллельных прямых и трапеции.

По условию, BB1=18 см. Так как BB1 параллельна медиане AM1 треугольника ABM, то по теореме о параллельных медианах отрезок MM1 будет иметь то же значение, что и высота, опущенная из вершины B на AM1.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как точка M - середина AB, то AM=MB. Из того, что MM1 параллельна и равна высоте, то AM1=MB1.

Таким образом, MM1=MB1=18 см.

3) Докажем, что PN || ADB, используя свойства трапеции и треугольника.

Дано, что PN - основание трапеции ADNP. Чтобы доказать, что PN || ADB, достаточно показать, что треугольники ADB и DNP равнобедренные с равными основаниями.

У нас есть треугольник ADB, где AB=AD, так как AB и AD - стороны трапеции ADNP. Также, так как точка B не лежит в плоскости трапеции ADNP, то угол ADB не равен прямому углу (из свойств плоскостей). Значит, треугольник ADB является неравнобедренным.

Рассмотрим треугольник DNP. Так как PN - основание трапеции ADNP, то углы DNP и DPN равны (из свойства трапеций). Также, так как угол DPN не равен прямому углу и DNP - одно из оснований трапеции, то треугольник DNP также является неравнобедренным.

Таким образом, треугольники ADB и DNP не равнобедренные, а значит, их основания PN и AB параллельны. То есть, PN || ADB.