Период - время одного полного колебания.
На графике колебание начинается в высшей точке, это максимальное отклонение от положения равновесия, когда х=0. Тут х=15 м. Амплитуда, максимальное отклонение.
Смотрим, за какое время тело опять вернется сюда. Это "расстояние" между двумя соседними "горбами".
Т=1,2 с.
Но можно брать любое положение.
Например положение равновесия при t=0,3 c. х=0
Тело отклонилось в одну сторону ( t=0,6 c) х=-15 м
Вернулось в положение равновесия (t=0,9 c) х=0
Теперь отклонилось в другую сторону (t=1,2 c) х=15 м
И опять вернулось в положение равновесия (t=1,5 c) х=0.
Совершилось одно полное колебание. На это ушло 1,5-0,3=1,2 с.
Это и есть период. Т=1,2 с.
Возьмите катушку или что еще на ниточке. Посмотрите, как качается. Или качели во дворе.
Дано:
m = 300 г = 0,3 кг
h = 1,5 м
k = 100 Н/м
g = 10 м/с²
A - ?
При решении задачи мы пренебрегаем массой чаши и пружины. Высота, с которой тело падает, на самом деле не h, а (h + L), где L - это длина пружины. Но пружина не может сжаться так, чтобы материально исчезнуть - она не может сжаться на всю свою длину. Она сожмётся на длину х. Тогда и возьмём в качестве нулевого потенциала тела ту точку, в которой пружина сожмётся на длину х. Тогда высота, с которой тело падает, будет равна (h + x). Теперь проанализируем превращения энергии. Силы трения воздуха не берём в расчёт. В начале тело обладает механической энергией, которая равна потенциальной энергии Еп:
Е = Еп = mg(h + x)
По закону сохранения механическая энергия остаётся неизменной. Когда тело касается чаши, оно обладает потенциальной энергией Еп' и кинетической энергией Ек, что в сумме даёт механическую энергию Е:
Е' = Еп' + Ек = mgx + mυ²/2
Нетрудно догадаться, что кинетическая энергия будет равна потенциальной при высоте h (разности Еп и Еп'):
Т.к. Е = Е', то:
mg(h + x) = mgx + mυ²/2
mgh + mgx = mgx + mυ²/2 | + (-mgx)
mgh = mυ²/2 => Eк = Еп - Еп'
Тогда механичесая энергия тела в момент его падения на чашу равна:
Е' = mgx + mgh
Эта энергия по мере движения тела до нулевого потенциала превращается в потенциальную энергию пружины Wп:
Е' = Wп
Wп = kx²/2 => mgx + mgh = kx²/2 - отнимаем от обеих частей уравнения значение потенциальной энергии пружины и решаем квадратное уравнение через дискриминант:
-kx²/2 + mgx + mgh = 0 | *(-1)
kx²/2 - mgx - mgh = 0
(k/2)*x² - mg*x - mgh = 0
D = b² - 4ac = (-mg)² - 4*(k/2)*(-mgh) = m²g² + 2kmgh = mg*(mg + 2kh)
x = (-b+/-√D) : (2a)
x1 = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : (2*(k/2)) = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k
Второй корень получается бессмысленным, т.к. разность (mg - √(mg*(mg + 2kh))) получается отрицательной, ведь если представить, что mg = 1, то получится (1 - √(1*(1 + 2kh))) = 1 - 1*√(1 + 2kh) - из единицы вычитаем число, гораздо большее единицы, учитывая, что k и h > 1. Результат выходит отрицательным, а отрицательное значение x противоречит нашему уравнению для механической энергии - общая высота (h + x) не может быть < h. Значит, берём первый корень:
x = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k
Но это не амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний тела - это максимальное отклонение тела от положения равновесия. А положение равновесия тела будет при условии, что сила упругости равна весу тела:
Fупр = Р, т.е.:
kΔx = mg - таким образом, положение равновесия определяется сжатием пружины на определённую длину Δх. А ведь тело падало на пружину, которая находилась в свободном состоянии. Значит найденный корень - это не амплитуда. Тогда, если при падении тела пружина от свободного состояния сжалась на длину x, а при равновесии она сжимается на длину Δх, то надо просто отнять второе от первого - разность (x - Δx) и будет являться амплитудой:
kΔx = mg => Δx = mg/k
А = x - Δx = ((mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k) - mg/k = mg/k + (√(mg*(mg + 2kh)))/k - mg/k = √(mg*(mg + 2kh))/k = √(m²g² + 2mgkh)/k = √(0,3²*10² + 2*0,3*10*100*1,5)/100 = √909/100 = 0,301496... = приблизительно 30,15 см
Можно получить такой же результат по-другому - через теорему об изменении кинетической энергии (сумма работ всех действующих сил на тело или систему тел равна изменению кинетической энергии тела или системы тел). За нулевой потенциал возьмём чашу пружины, тогда механическая энергия тела будет равна его потенциальной на высоте h. При падении тело будет иметь только кинетическую энергию, т.е.:
Е = Еп, но т.к. потенциальная перетекает в кинетическую, то Е' = Ек, а т.к. по закону сохранения энергии Е = Е', то Еп = Ек.
Ну а дальше кинетическая энергия изменяется до нуля, а изменяют её средняя сила упругости, работа которой отрицательна и равна:
A1 = Fупр(cp)*s = -(kx1 + kx2)/2*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2 + x1)*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2² - x1²), т.к. x1 = 0 (в этой точке сила ещё не совершала работы), то x2 = x и => А1 = -kx²/2,
и сила тяжести, работа которой положительна и равна:
А2 = mg*(x2 - x1) = mgx
Тогда выходит:
ΣА = ΔЕк = Ек2 - Ек1 = 0 - Ек1 = - Ек1
ΣA = A1 + A2 = -kx²/2 + mgx
Ек1 = Ек = Еп = mgh =>
=> -kx²/2 + mgx = - mgh
-kx²/2 + mgx + mgh = 0 | *(-1)
kx²/2 - mgx - mgh = 0 - то же самое квадратное уравнение.
ответ: приблизительно 30,15 см.
