Автомобиль массой m = 2×103 кг движется со скоростью v = 90 км/ч. в момент времени t = 0 на него начинает действовать тормозящая сила f, которая нарастает по линейному закону. через какое время автомобиль остановится?

Минимальная кинетическая энергия будет в верхней точке траектории (в вершине параболы), в этой точке вертикальная составляющая скорости (проекция скорости на вертикальную ось) равна нулю, и, как известно горизонтальная составляющая скорости - постоянна.
максимальная кинетическая энергия будет или в начальный момент, или в момент падения. Будем считать, что тело брошено с поверхности земли. Имеем.
E_k_min = (m/2)*(v_x)^2;
E_k_max = (m/2)*(v0)^2;
(v0)^2 = (v0_y)^2 + (v_x)^2;
по условию E_k_max = 2*E_k_min;
(m/2)*( (v0_y)^2 + (v_x)^2 ) = 2*(m/2)*(v_x)^2;
(v0_y)^2 + (v_x)^2 = 2*(v_x)^2;
(v0_y)^2 = (v_x)^2;
v0_y = v_x;
итак: v0_y = v_x;
tg(a) = v0_y/v_x = 1;
a = arctg(1) = 45 градусов.

Будем считать торможение автомобиля равнозамедленным и прямолинейным. Тогда нетрудно посчитать ускорение торможения из закона сохранения энергии:

Здесь  - ускорение торможения,  - тормозной путь (который в конце условия),  - начальная скорость (которая в конце условия).
Отсюда .
Чтобы автомобили не столкнулись, необходимо, чтобы длина промежутка между ними во время, когда первый начал торможение, была не меньше, чем путь второго автомобиля от момента начала торможения до полной остановки минус тормозной путь первого. Это легко увидеть, нарисовав зависимости  и .
Теперь аккуратно запишем это:

- тормозной путь первого автомобиля, 
- тормозной путь второго автомобиля.
Из того же самого закона сохранения энергии следует, что они равны соответственно  и 
Подставляя все в неравенство на , найдем:

ответ: не менее 7.5 метров.