На гладкой горизонтальной плоскости покоится доска массы м. на доске лежит тело массы m , которому толчком сообщают начальную скорость v вдоль доски. коэффициент трения между телом и доской равен μ. на какое расстояние s сместится тело относительно доски? считать, что тело, смещаясь, остается в пределах доски.

Система доска+тело ни с чем не взаимодействует, поэтому полный импульс сохраняется. Если скорость после остановки тела относительно доски равна u, то из закона сохранения импульса
mv = (m + M)u
u = v * m/(m + M)

Энергия mv^2 / 2, переданная системе, ушла на кинетическую энергию всей системы (m + M) u^2 / 2 и работу по преодолению силы трения μ mg S. Тогда
μ mg S = mv^2 / 2 - (m + M) u^2 / 2 = mv^2/2 (1 - m/(m + M)) = mv^2 / 2 * M / (m + M)

S = v^2 / 2μg * M/(m + M)