47 ! расчитать момент инерции для кольца радиусом r массой m относительно оси проходящий через центр перпендикулярно его плоскости. ( подробнее)

Для элементарной массы Δm, находящейся на расстоянии X от оси вращения, по определению самого понятия момента инерции, элементарный момент инерции равен:
ΔJ = Δm * X² ;
Рассмотрим очень маленкий фрагмент кольца, масса которого Δm1. Любая точка кольца, а значит, и выбраный нами фрагмент – находится на расстоянии R от оси вращения, а значит, момент энерции этого малого фрагмента равен:
ΔJ1 = R²Δm1 ;

Рассмотрим второй фрагмент. Для него:
ΔJ2 = R²Δm2 ;

Третий:
ΔJ3 = R²Δm3 ;
 . . .
И т.д.
ΔJi = R²Δmi ;
 . . .
До послдеднего фрагмента:
ΔJ_посл = R² Δm_посл ;

Сложим все эти элементарные моменты инерции и получим полный момент инерции кольца:
J = ΔJ1 + ΔJ2 + ΔJ3 + . . . + ΔJi + . . . + ΔJ_посл = 
= R²Δm1 + R²Δm2 + R²Δm3 + . . . + R²Δmi + . . . + R² Δm_посл = 
= R² ( Δm1 + Δm2 + Δm3 + . . . + Δmi + . . . + Δm_посл ) = 
= R² * m – поскольку: [ Δm1 + Δm2 + Δm3 + ... + Δmi + ... + Δm_посл ] = m ;

Итак, в случае однородного тонкого кольца радиуцса R и массы m относительно оси, перпендикулярной его плоскости, проходящей через его центр:
J = mR² .