Изменится ли коэффициент жёсткости пружины, если её разрезать пополам?

Да, изменится.
Представим себе пружину, составленную из ДВУХ одинаковых пружин, соединенных ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО.
Пусть под действием силы F пружина удлинилась на 2·Δx (то есть каждая пружинка удлинилась на Δx ).
Вычислим коэффициент жесткости из закона Гука:
k₁ = F / (2·Δx)

Пусть сила остается равной F, но одну пружину убираем:
k₂=F/Δx

Найдем отношение коэффициентов:
k₂ / k₁ = F/Δx·((2·Δx)/F) = 2 (то есть коэффициент УВЕЛИЧИЛСЯ в 2 раза!)

Примечание: Знакомые с техникой слышали о шайбе Гровера, которая предотвращает самопроизвольное откручивание гаек. Так в этой шайбе всего ОДИН виток, а жесткость очень большая...