Всосуде содержится две не смешивающиеся между собой жидкости, где вертикально расположен цилиндрический брусок длиной l. плотность нижней жидкости равна p1 , а верхней жидкости p2. на разделе границ этих двух жидкостей брусок поделен пополам. цилиндрический брусок совершает малые вертикальные колебания. пренебрегая силами трения, найти период этих колебаний. ускорение свободного падения g.

Условие равновесия тела, погруженного на половину высоты на границе сред можно записать следующим образом:
mg = ρ₂lSg/2 + ρ₁lSg/2    ρ₂ > ρ₁
m - масса плавающего тела
l - высота тела
S - площадь основания тела
ρ₁ - плотность верхнего слоя жидкости
ρ₂ - плотность нижнего слоя жидкости
Из этого условия можно получить выражение для массы тела
m = (lS/2)(ρ₁ + ρ₂).
Возвращающая сила связана с величиной смещения тела относительно границы раздела сред x следующим образом.
F = mg -  ρ₂(l/2 - x)Sg - ρ₁(l/2+x)Sg
Вставив значения для m, раскрывая скобки, приводя подобные члены, пр-пр-пр... получаем в итоге:
F = -xS(ρ₂ - ρ₁)g = -kx где k = S(ρ₂ - ρ₁)g
Циклическая частота колебаний материальной точки массы m c возвращающей силой, связанной со смещением по закону
F = -kx
равна
ω = √(k/m).
Подставив сюда значения, полученные для m и k, получим:
ω = √(2g(ρ₂ - ρ₁)/(l(ρ₂ + ρ₁)))
Период свободных колебаний, соответственно T = 2π/ω
T = 2π√(l(ρ₂ + ρ₁))/(2g(ρ₂ - ρ₁)))