Дві однакові провідні кульки із зарядами + 5 нКл і - 15 нКл торкнулись одна одної та розійшлися на відстань 50 см. Визначте силу взаємодії кульок. Вважайте кульки точковими зарядами.

Если пружины соединены параллельно, то все относительно просто. Силы действующие на груз суммируются поэтому эффективная жесткость двух пружин будет такая



Соответственно, частота колебаний будет 


В случае параллельного соединения все немного сложнее. Пружины растянутся так, что сила натяжения каждой будет одинакова. Эта же сила будет действовать на груз. А суммарное удлинение двух пружин будет суммой удлинений первой и второй. Найдем величину, обратную эффективной жесткости



Соответственно, частота колебаний будет 

Запишем второй закон Ньютона для горизонтального участка:

F – Fсопр – Fтр = 0 ,      если движение равномерно, где F – сила тяги конькобежца.

F = СSρu²/2 + μmg ,      где ρ – плотность воздуха, u, S и С – предельная скорость, площадь сечения и характерный коэффициент сопротивления конькобежца.

Запишем второй закон Ньютона для смычки:

v' = ( F – Fсопр – Fтр – mgsinφ ) / m    ,       где φ – текущий угол поворота на смычке; в данном случае Fтр = μN > μmg ! поскольку давление на смычке может быть заметно выше!

Нормальное ускорение в данном случае:

a = v²/R ,     которое обеспечивается реакцией смычки N за вычетом поперечной к смычке составляющей силы тяжести :

mv²/R = N – mgcosφ ,     где φ – текущий угол поворота на смычке.

N = mv²/R + mgcosφ ;

Fтр = μN = μmv²/R + μmgcosφ ;

v' = ( F – СSρv²/2 – μmv²/R – μmgcosφ – mgsinφ ) / m   ;

s'' = F/m – ( СSρ/[2m] + μ/R )s'² – μgcos(s/R) – gsin(s/R) ;

Данное нелинейное дифференциальное уравнение в элементарных функциях не решается. Для решения можно сделать некоторые пренебрежения.

Положим некоторые не значительно-переменные на смычке величины – постоянными:

μgcos(s/R) ≈ μgcos(φo/2),

gsin(s/R) ≈ gsin(φo/2),     где φo – угол наклона наклонной плоскости, тогда:

v' = [ F/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) ] – ( СSρ/[2m] + μ/R )v² ;

Поскольку мы будем устремлять R к нолю, то:

| F/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) | << ( СSρ/[2m] + μ/R )v² ,       а кроме того:

СSρ/[2m] << μ/R ,      окончательно:

v' = –μv²/R ;

Rdv/v² = –μdt ;

R/v – R/Vo = μt ;

R/v = R/Vo + μt ;

v = 1/[ 1/Vo + μt/R ] ;

ds = 1/[ 1/Vo + μt/R ] dt = [R/μ] d( 1/Vo + μt/R )/[ 1/Vo + μt/R ] ;

s = [R/μ] ln| Vo ( 1/Vo + μt/R ) | = [R/μ] ln|Vo/v| ;

v = Vo exp(–μs/R) = Vo exp(–μφ)        – это будет скорость конькобежца после смычки.

Теперь запишем третий Закон Ньютона на наклонном участке:

v' = F/m – Fсопр/m – μgcosφ – gsinφ ;

F = СSρu²/2 + μmg ;

v' = – СSρv²/[2m] – ( gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) ;

Обозначим ускорение возвратных бесскоростных сил,
как b = gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ,

а величину 2m/[СSρ] = L – как тормозную константу, тогда:

v' = – v²/L – b ;

dv/[ v²/L + b ] = –dt ;

dv/[ v²/(bL) + 1 ] = –bdt ;

d(v/√[bL]) / [ (v/√[bL])² + 1 ] = – √[b/L] dt ;

arctg(v/√[bL]) – arctg(V/√[bL]) = √[b/L] t ;

arctg(V/√[bL]) = arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ;

V/√[bL] = tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;

V = √[bL] tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;

ds = √[bL] tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) dt =
= – L tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) d( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;

s = L ln| cos( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) / cos( arctg(v/√[bL]) ) | ;

s = L ln| √[1+v²/(bL)] / √[1+V²/(bL)] | ;

Когда скорость V станет равна нулю – это и будет наивысшая точка:

s = L ln√[1+v²/(bL)] = L ln√[1+Vo²exp(–2μφ)/(bL)] ;

H = s sinφ ;

sinφ = h/so ,     где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки;

1–cosφ = 1 – √[1–(h/so)²] ≈ [1/2] (h/so)²,     где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки;

H = [s/so] h = [h/so] L ln√[1+Vo²exp(–2μarcsin[h/so])/(bL)] ;

bL = ( gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) 2m/[СSρ] =
= 2mg/[СSρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u²

H = 2m/[СSρ]*
*[h/so] ln√[ 1 + Vo²exp(–2μarcsin[h/so])/( 2mg/[СSρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u² ) ] ;

Как мы видим, нам необходима максимальная скорость конькобежца u. Будем считать, что это так невнятно дано в виде начальной скорости конькобежца. Учтём ещё, что в нашем случае: arcsin[h/so] ≈ h/so, (h/so)² << 1 и exp(–2μarcsin[h/so]) ≈ 1–2μh/so :

H = 2m/[СSρ] [h/so] ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) ] ;

Очевидно, что для того, чтобы «работающий ногами конькобежец» вообще мог достичь какой-либо наивысшей точки, нужно чтобы:

ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) ] > 0 ;

(1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) > 0 ;

2 [h/so] mg/[СSρVo²] > 1 ;

m/СS > ρVo²so/[2gh] ≈ 1.25*64*10/[ 2*9.8*0.5 ] ≈ 4000/49 ;

m/СS > 81.6 ;

Если считать, что CS = 1 м² , то масса конькобежца должна быть больше 82 кг, чтобы он, «продолжая работать ногами», вообще остановился.

* Допустим, что m/CS = 200 (тяжёлый и слабый), тогда:

H ≈ 2*200/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*200*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 16 ln√[ 1 + 0.998/1.45 ] ≈ 8.4 м.

* Допустим, что m/CS = 100 (средний параметр), тогда:

H ≈ 2*100/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*100*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 8 ln√[ 1 + 0.998/0.225 ] ≈ 13.5 м.

* Допустим, что m/CS = 82 (легко-пронырливый), тогда:

H ≈ 2*82/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*82*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 6.56 ln√[ 1 + 0.998/0.0045 ] ≈ 35 м.

* Допустим, что m/CS > 81.64 (всепреодолевающий на этом наклоне), тогда:

H ≈ 2*81.64/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*81.64*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )] ≈ бесконечность.